त्रिभुज | Triangle | Class 10th math | Hindi medium

त्रिभुज ( Triangle )-माना किसी तल पर तीन बिंदु A , B तथा C स्थित हैं | यदि A , B तथा C संरेख नहीं है तो इन तीनों बिन्दुओं को मिलाने से तीन रेखाखंड AB , BC और CA खीच सकते है जिसके मिलने से बनी आकृति त्रिभुज कहलाती है | या तीन भुजाओं से घिरे क्षेत्र को त्रिभुज कहते हैं |

शीर्ष ( Vertices )– A , B और C                                                                                                                         

भुजा ( Side )–  AB , BC और CA

कोण ( Angle )– ∠ A ,∠ B और ∠ C  या ∠ BAC ,∠ ABC और ∠ BCA

सर्वांगसम आकृतियाँ ( Congruent Figures )-  दो आकृतियाँ सर्वागसम कही जाती है जब उनके समान आकर ( Shape ) और  समान आमाप ( Size ) हो |जैसे –

त्रिभुजों की सर्वागसमता ( Congruence of triangle )-

1. S-A-S सर्वागसमता 
2. S-S-S सर्वागसमता 
3. A-S-A सर्वागसमता 
4. R-H-S सर्वागसमता 

समरूप आकृतियाँ ( Similar figures )-दो आकृतियाँ सर्वागसम कही जाती है जब उनके समान आकर ( Shape ) हो परन्तु आमाप ( Size ) समान होना आवश्यक नहीं  है  | जैसे –     

नोट –

1. सभी वर्ग समरूप होते हैं |
2. सभी वृत्त समरूप होते हैं |
3. सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं |

समरूप बहुभुज ( Similar polynomials )- दो बहुभुज समरूप कहलाते हैं यदि

1. उनकी भुजाओं की संख्या समान हो | 
2. उनके संगत कोण समान हो |
3. उनकी संगत भुजाएं समानुपाती हों अर्थात सभी संगत भुजाएं एक ही अनुपात में हो |

समरूप त्रिभुज ( Similar Triangles )– दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं यदि 

1. उनके संगत कोण समान हो |
2. उनकी संगत भुजाएं समानुपाती हों अर्थात सभी संगत भुजाएं एक ही अनुपात में हो |

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय ( Basic proportionality theorem , BPT ) या थेल्स प्रमेय ( Thales theorem ) 

यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए खिची जाय तो ये अन्य दो भुजाएं एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं |

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का विलोम ( Converse of Basic proportionality theorem , Converse of BPT ) या थेल्स प्रमेय का विलोम ( Converse of Thales theorem ) 

यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में बिभाजित करे , तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है |

 कोण समद्विभाजन प्रमेय (Angle Bisector theorem ) 

सिद्ध करें की त्रिभुज के शीर्ष कोण को आंतरिक या बाह्य समद्विभाजक , उस कोण को बनानेवाली भुजाओं के अनुपात में आधार को आंतरिक या बाह्यतः विभाजित करता है |

AAA ( कोण-कोण-कोण ) समरूपता प्रमेय 

यदि दो त्रिभुजों में , संगत कोण बराबर हों , तो उसकी संगत भुजाएं एक ही अनुपात में ( समानुपाती ) होती है और इसलिए ये दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं |

AA ( कोण-कोण ) उप-प्रमेय 

यदि किसी त्रिभुज के दो कोण , दुसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हो तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं |

SSS  ( भुजा-भुजा-भुजा ) समरूपता प्रमेय 

यदि दो त्रिभुजों में एक त्रिभुज की भुजाएं दुसरे त्रिभुज की भुजाओं के समानुपाती ( एक ही अनुपात में ) हो तो उसके संगत कोण बराबर होते हैं और इसलिए दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं |

SAS  ( भुजा-कोण-भुजा ) समरूपता प्रमेय 

यदि एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो तथा इन कोणों को अंतर्गत करने वाली भुजाएं सनानुपति हो , तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं | 

प्रमेय ( Theorem )

यदि किसी समकोण त्रिभुज के समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर लम्ब डाला जाए तो इस लम्ब के दोनों ओर बने त्रिभुज सम्पूर्ण त्रिभुज के समरूप होते हैं तथा परस्पर भी समरूप होते हैं |

प्रमेय: दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल का अनुपात ( Ratio of the area of two similar triangles )

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है | या , दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है |

प्रमेय ( Theorem )

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल का अनुपात उनकी संगत ऊचाईयों के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है |

प्रमेय ( Theorem )

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल का अनुपात उनकी संगत माध्यिकाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है |

प्रमेय ( Theorem )

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल का अनुपात उनकी संगत कोणों के समअर्द्धक रेखाखंड़ो के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है |

प्रमेय ( Theorem )

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान हो , तब दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं  | या , समान क्षेत्रफल वाले समरूप त्रिभुज सर्वागसम होते हैं |

पाईथागोरस प्रमेय ( Pythagoras Theorem )

एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है |

पाईथागोरस प्रमेय का विलोम  ( Converse of Pythagoras Theorem )

किसी त्रिभुज में यदि एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो तो पहली भुजा के सामने का कोण समकोण होता है |

 

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