प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन ( Inverse trigonometric function ) : Class 12th Mathematics Notes By Ravikant Sir

प्रतिलोम फलन ( Inverse function ) : यदि फलन f : A → B एकैकी आच्छादक है तो f^-1 : B → A जो y ∈ B को एक अद्वितीय x ∈ A से संबंध कराता हैं, f का प्रतिलोम फलन कहलाता है | 

  f : A → B ⇒ f ( x ) = y ⇔ f^-1 ( y ) = x 

   अर्थात् f : A → B ⇒ f^-1 : B → A

          dom ( f^-1 ) = range ( f ) 

          range ( f^-1 ) = dom  ( f ) 

 

त्रिकोणमितीय फलन ( Trigonometric function ) 

फलन	प्रांत	परिसर
(i) sin x	R	[ -1, 1 ]
(ii) cos x	R	[ -1, 1 ]
(iii) tan x	R – ( 2n + 1 ) , n ∈ z	R
(iv) cot x	R – nπ, n ∈ z	R
(v) sec x	R – ( 2n + 1 ) , n ∈ z	R – [ -1, 1 ]
(vi) cosec x	R – nπ, n ∈ z	R – [ -1, 1 ]

कोई भी त्रिकोणमितीय फलन एकैकी आच्छादक नहीं होता है अत: इन्हें फलने इनके प्रांत में परिवर्तन कर एकैकी आच्छादक बनाना होगा, ताकि इनका प्रतिलोम का अस्तित्व हो सकें | 

1.  y = sin x or f ( x ) = sin x 

प्रांत = R, परिसर = [ -1, 1 ]

निम्नलिखित अंतरालों पर फलन f ( x ) = sin x एकैकी आच्छादक होगा | 

∴ f : [ – , ] → [-1, 1 ] पर  f ( x ) = sin x एकैकी आच्छादक है | 

अत: यह एक व्युत्क्रमणीय फलन है | 

f^-1 : [ -1, 1 ] → [ – , ],   f ( x ) = sin^-1 x 

प्रांत = [ -1, 1 ] 

परिसर = [ – , ] = मुख्य शाखा मान 

मुख्य शाखा मान ( Principal branch values ) : इस सभी अंतरालों में से y-अक्ष के साथ वाले अंतराल को फलन के प्रतिलोम फलन का मुख्य शाखा मान कहते हैं |

 2.  y = cos x or f ( x ) = cos x 

प्रांत = R, परिसर = [ -1, 1 ] 

निम्नलिखित अंतरालों पर फलन f ( x ) = cos x एकैकी आच्छादक है – 

[ -3π, – 2π ], [ -2π, -π ], [ -π, 0 ], [ 0, π ], [ π, 2π ], [ 2π, 3π ] ……… etc. 

∴ f : [ 0,π ] → [ -1, 1 ] : f ( x ) = cos x एकैकी आच्छादक है | 

अत: यह एक व्युत्क्रमणीय फलन है | 

f^-1 : [ -1, 1 ] → [ 0, π ] : y = cos^-1 x 

प्रांत = [ -1, 1 ], परिसर =  [ 0, π ] मुख्य शाखा मान 

3.  f ( x ) = tan x

प्रांत = R – ( 2n + 1 ) , n ∈ z , परिसर = R 

निम्नलिखित अंतरालों पर फलन f ( x ) = tan x एकैकी आच्छादक होगा – 

∴ f : ( – , ) → R, f ( x ) = tan x एकैकी आच्छादक है | 

अत: यह एक व्युत्क्रमणीय फलन है | 

f^-1 : R → ( – , ) ; y = tan^-1 x 

प्रांत = R, परिसर = ( – , )

4.  f ( x ) = cot x 

प्रांत = R – nπ, n ∈ z, परिसर = R 

निम्नलिखित अंतरालों पर फलन f ( x ) = cot x एकैकी आच्छादक होगा – 

[ -3π, – 2π ], [ -2π, -π ], [ -π, 0 ], [ 0, π ], [ π, 2π ] ……… etc. 

∴ f : [ 0,π ] → R,     f ( x ) = cos x एकैकी आच्छादक है | 

अत: यह एक व्युत्क्रमणीय फलन है | 

f^-1 : R – [ 0, π ], y = cos^-1 x 

प्रांत = R, परिसर =  [ 0, π ] 

5.  f ( x ) = sec x 

प्रांत = R – ( 2n + 1 ) , n ∈ z 

परिसर = R – ( -1, 1 ) 

निम्नलिखित अंतरालों पर फलन f ( x ) = sec x एकैकी आच्छादक होगा – 

∴ f : → R – ( -1, 1 ) एकैकी आच्छादक है |

अत: यह एक व्युत्क्रमणीय फलन है | 

f^-1 :R- ( -1, 1 ) → [ 0, π ] – { }, y = sec^-1 x 

प्रांत = R – ( -1, 1 ),    परिसर = [ 0, π ] – { }

6.  f ( x ) = cosec x 

प्रांत = = R – nπ, n ∈ z, परिसर = R – ( -1, 1 )

निम्नलिखित अंतरालों पर फलन f ( x ) = cosec x एकैकी आच्छादक होगा | 

∴ f : → R – ( -1, 1 ) ,f ( x )= cosec x एकैकी आच्छादक है | 

अत: यह एक व्युत्क्रमणीय फलन है | 

f^-1 : R ( -1, 1 ) → [ – , ] – { 0 }, y = cosec^-1 x 

प्रांत = R – ( -1, 1 ),    परिसर =  [ – , ] – { 0 }

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के गुणधर्म ( Properties of Inverse Trigonometric Functions ) : 

Property I: 

1.  sin(sin^-1x) = x  ,∀ x ∈ [-1,1]
2. cos(cos^-1x) = x  ,∀ x ∈ [-1,1]
3. tan(tan^-1x) = x  ,∀ x ∈ R
4. cot(cot^-1x) = x  ,∀ x ∈ R
5. sec(sec^-1x) = x  ,∀ x ∈ R – (-1,1)
6. cosec(cosec^-1x) = x  ,x ∈ R – (-1,1)

• हम जानते है की यदि f : A →B एकैकी आच्छादक फलन है तो f^-1:B→ A  का अस्तित्व होता है तथा 

1. प्रमाण :     

                     माना sin^–1x = θ , जहाँ x ∈ [-1,1] 

x = sinθ ⇒ sinθ = x ⇒ sin(sin^-1x) = x

Property II:

1.  sin^-1(sinx) = x , ∀ 
2. cos^-1(cosx) = x , ∀
3. tan^-1(tanx) = x , ∀
4. cot^-1(cotx) = x , ∀
5. sec^-1(secx) = x , ∀ x∈
6. cosec^-1(cosecx) = x , ∀ x∈

 प्रमाण :

1.  जब , sinx , एकैकी आच्छादक फलन है और इसलिए इसके प्रतिलोम का अस्तित्व है |

 माना , sinx = y ⇒ x = sin^-1y

⇒   x = sin^-1(sinx)

  ∴ sin^-1(sinx) = x , ∀ 

Property III :

  a. sin^-1x = cosec^-1 , x ∈ [-1, 1] – {0}

  b. cosec^-1x = sin^-1 , x ≤ -1 या x ≥ 1

  c. cos^-1x = sec^-1 , x ∈ [-1, 1]

 d. sec^-1x = cos^-1 , x ≤ -1 या x ≥ 1

 e.

 f. 

  Property IV :

1. sin^-1(-x) = – sin^-1(x) , ∀ x ∈ [-1,1]
2. cos^-1(-x) = π- cos^-1(x) , ∀ x ∈ [-1,1]
3. tan^-1(-x) = – tan^-1(x) , ∀  x ∈ R
4. cot^-1(-x) = π- cot^-1(x) , ∀ x ∈ R
5. sec^-1(-x) = π- sec^-1(x) ,∀ x ∈ R – (-1,1)
6. cosec^-1(-x) = – cosec^-1(x) ,x ∈ R – (-1,1)

Property V :

1. sin^-1x + cos^-1x  = π/2 , ∀ x ∈ [-1,1]
2. tan^-1x + cot^-1x  = π/2 , ∀ x ∈ R
3. sec^-1x + cosec^-1x  = π/2 , ∀ x ∈ R – (-1,1)

Property VI :

1. 
2. 

Property VII:

1. 
2. 

Property VIII:

1. 
2. 

Property IX:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

Property X:

1. 
2. 
3. 

 

 

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