फलन ( Functions ) – Class 12th Mathematics Notes & Exercise By Ravikant Sir

फलन ( Function) : किसी नियम f के  A से B में फलन होने के लिए, 

1. A और B अरिक्त समुच्चय हो | 
2. A के प्रत्येक अवयव का नियम f के अधीन B में प्रतिबिंब होना चाहिए | 
3. A के किसी अवयव का प्रतिबिंब B में एक से अधिक नहीं होना चाहिए | 

यदि f, A से B में एक फलन हो तो इसे f : A → B लिखा जाता है | 

यदि f, A के अवयव x को B के अवयव y से संबंधित करता है, तो y, x का f के अधीन प्रतिबिंब (image ) कहलाता है तथा x को y का पूर्व-प्रतिबिंब ( pre-image ) कहते हैं | 

Example :

उदहारण (i) तथा (ii) A से B में फलन है लेकिन (iii) तथा (iv) A से B में फलन नहीं है | क्योंकि (iii) A के अवयव 2 का प्रतिबिंब के से अधिक है | (iv) A के अवयव 3 का प्रतिबिंब B में नहीं है | 

फलन के प्रांत, परिसर तथा सहप्रांत ( Domain, Range and Co-domain of a function ) 

माना f, A से B में एक फलन है ( f : A → B) तो – 

(i) समुच्चय A को फलन f का प्रांत कहते हैं |

         Dom (f) = A 

(ii) समुच्चय A के सभी अवयवों के प्रतिबिंब को , फलन f का परिसर कहते हैं | 

           Range  (f) = { f (x) ; x ∈ A ] 

(iii) समुच्चय B को फलन f का सहप्रांत कहते हैं | 

फलन के प्रकार ( Types of function ) : 

1. एकैकी या एकैकी फलन ( One – one or injective ) : फलन f : A → B एकैकी या एकैकी फलन कहलता है यदि A के भिन्न-भिन्न अवयवों के B में भिन्न-भिन्न प्रतिबिंब हो | 

Example :

2. बहुएकी फलन ( Many-one function ) : फलन f : A → B बहुएकी फलन कहलाता है यदि A के कम-से-कम दो अवयवों का B में प्रतिबिंब समान हो | 

या, फलन f : A → B के बहुएकी फलन कहलाता है यदि f एकैकी नहीं हो | 

Example :

3. आच्छादक या आच्छादी फलन ( Onto or Surjective Function ) : फलन f : A → B आच्छादक फलन कहलाता है यदि B के प्रत्येक अवयव A के किसी-न-किसी  अवयव का प्रतिबिंब हो | 

यदि f : A → B ममे आच्छादक हो तो f (A) = B 

Example :

नोट –

( i ) एकैकी तथा आच्छादक दोनों है | 

( ii ) बहुएकी तथा आच्छादक दोनों है | 

4. एकैकी आच्छादक या एकैकी आच्छादी फलन ( One-one onto or Bijective Function)  : फलन f : A → B एकैकी आच्छादक फलन कहलाता है यदि f एकैकी तथा आच्छादक दोनों हो | 

Example :

5. अंत: क्षेपी फलन ( Into function ) : फलन f : A → B अंत: क्षेपी फलन कहलाता है यदि B में कम-से-कम ऐसा अवयव हो जिसका पूर्त A में कोई पूर्व प्रतिबिंब न हो | 

यदि f : A → B में अंत: क्षेपी फलन हो तो f (A) ⊂ B

अत: क्षेपी फलन के प्रकार – 

(a) एकैकी अंत: क्षेपी फलन ( One-one Into function ): फलन f : A → B एकैकी अंत: क्षेपी फलन कहलाता है यदि f एकैकी तथा अंत: क्षेपी दोनों हो | 

Example :

(b) बहुएकी अंत: क्षेपी फलन ( Many-one Into function ) : फलन f : A → B बहुएकी अंत: क्षेपी  फलन कहलाता है यदि f बहुएकी तथा अंत: क्षेपी दोनों हो | 

Example :

6. बहुएकी आच्छादक फलन ( Many-one Onto function ) : फलन f : A → B बहुएकी आच्छादक फलन कहलाता है यदि बहुएकी तथा आच्छादक दोनों हो | 

Example :

एकैकी आच्छादक फलन की जाँच : 

1. माना कि फलन f: R → R, f (x) = 2x + 3 द्वारा परिभाषित है | 

हल :

एकैकी : 

          माना f (x₁ ) = f (x₂ ),     ∀ x₁ , x₂ , ∈ A  

                           2x₁ + 3 = 2x₂ + 3 

                                        2x₁  = 2x₂ 

                                        x₁  = x₂ 

                  ∴ f एकैकी फलन है, 

आच्छादक : 

            माना y = f (x) ⇒ y = 2x + 3 

                                      ⇒ x = ∈ R, जब y ∈ R 

 सहप्रांत R के सभी अवयवों का पूर्व-प्रतिबिंब प्रांत R में है | 

∴ f आच्छादक फलन है | 

अत: f एकैकी आच्छादक फलन है | 

2. माना कि फलन f : N → N, f (x) = 3x + 2 द्वारा परिभाषित है | 

हल :

एकैकी : 

          माना f (x₁ ) = f (x₂ ),     ∀ x₁ , x₂ , ∈ A  

                           3x₁ + 2 = 3x₂ + 2 

                                        3x₁  = 3x₂ 

                                        x₁  = x₂ 

                  ∴ f एकैकी है | 

आच्छादक :     माना y = f (x) 

                                  y = 3x + 2 

                                  x =  ∉ N, जब y ∈ { 1, 2, 3, 4, 6, 7 } 

   सहप्रांत N के सभी अवयवो का पूर्व प्रतिबिंब प्रांत N में नहीं है | 

∴ f आच्छादक फलन नहीं है, 

3. माना कि फलन f: R → R, f (x) =x² + 2 द्वारा परिभाषि है |

हल :

एकैकी : 

       माना f (x₁ ) = f (x₂ ),     ∀ x₁ , x₂ , ∈ A  

                           x₁² + 2 = x₂² + 2 

                               x₁²  = x₂² 

                                x₁  ≠  ± x₂

  ∴ f एकैकी नहीं है | 

नोट: यदि फलन एकैकी न हो तो वह बहुएकी फलन कहलाता है | 

आच्छादक : 

                 माना y = f (x) ⇒ y = x² + 2 

                                                x² = y – 2 

                                               x = ∉ R, जब y ∈ ( -∞, 2 ) 

 सहप्रांत R के सभी अवयवो का पूर्व प्रतिबिंब प्रांत R में नहीं है | 

∴ f आच्छादक फलन नहीं है | 

नोट: 

1. यदि फलन एकैकी आच्छादक न हो तो वह बहुएकी अंत: क्षेपी फलन होता है | 
2. यदि फलन एकैकी हो तथा आच्छादक न हो तो वह एकैकी अंत: क्षेपी फलन होता है |

प्रश्नावली 2.1 

1. यदि A = { 1, 2, 3, 4 } तथा B = { a, b, c, d } हैं तो f : A → B f : A → B में , निम्नलिखित फलन किस प्रकार का फलन है – 

1. { (1, a), (2, b), (3, c), (4, d) } 
2. { (1, a), (2, a), (3, a), (4, a) } 
3. { (1, a), (2, c), (3, d), (4, d) } 

2. यदि A = {1, 2, 3 } तथा B = { a, b } है तो f : A → B में किस प्रकार का फलन है – 

f = { (1, a ), (2, b), (3, a) } 

3. निम्नलिखित फलनों की एकैकी, आच्छादक, बहुएकी, अंत: क्षेपी एकैकी आच्छादक गुणों की जाँच करे – 

1. f (x) = x² द्वारा प्रदत्त f : N → N फलन है | 
2. f (x) = x² द्वारा प्रदत्त f : R → R फलन है | 
3. f (x) = x² द्वारा प्रदत्त f : Z → Z फलन है | 
4. f (x) = x² द्वारा प्रदत्त f : N → N फलन है | 
5. f (x) = 2x द्वारा प्रदत्त f : R → R फलन है | 
6. f (x) = [x] द्वारा प्रदत्त ,महत्तम पूर्णांक फलन f : R → R फलन है | 
7. f (x) = e^x   द्वारा प्रदत्त f : R → R फलन है | 
8. f (x) = 2x + 1 द्वारा प्रदत्त f : Z→ Z फलन है | 
9. f (x) = [x] द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णांक  फलन f : R → Z फलन है | 

4. समुच्चय A = { 1, 2, 3, 4, 5 } में सभी f : A → A आच्छादक फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए | 

5. सिद्ध कीजिए कि फलन f : N → N जो f (x) = 2x,  ∀ x ∈ N से परिभाषित है, एकैकी तथा अंत: क्षेपी है | 

6. सिद्ध कीजिए कि फलन f : R → R जो f (x) = x – [x] से परिभाषित है  तो एकैकी है और न ही आच्छादक | 

7. यदि A = { 1 2, 3 } है तथा f : A → A में एकैकी फलन है तो सिद्ध करें कि f आच्छादक फलन भी होगा | 

8. माना कि f : R → R इस प्रकार परिभाषित है –

सिद्ध करें कि फलन f न तो एकैकी है और न आच्छादक है | 

9. माना कि f : N → N पर परिभाषित फलन है –

          f (n) = n + 1, यदि n विषम है, 

                    =  n – 1, यदि n सम है |  तथा n ∈ N 

सिद्ध कीजिए f एकैकी आच्छादक है |

10. सिद्ध कीजिए कि फलन f : R – {3} → R – {1} जो f (x) = से परिभिषित है,, एक एकैकी आच्छादक फलन है | 

11. माना कि A = { 1, 2, 3 }, A से A में सभी एकैकी फलन निकालें | 

12. माना कि f : A → B में एकैकी फलन है f का परिसर = {r} है, तो A में अवयवों की संख्या बताएँ | 

बहुविकलपीय प्रश्न ( Multiple Choice Questions ) 

13. फलन  f: N → N जो f (x) = 2x + 7 द्वारा परिभाषित है – 

1. एकैकी फलन है 
2. बहुएकी फलन है 
3. आच्छादक फलन है 
4. एकैकी आच्छादक फलन है 

14. माना कि f: R → R, f (x), = , ∀ x ∈ R – {0} के द्वारा परिभाषित है, तो f – 

1. एकैकी है 
2. आच्छादक है 
3. एकैकी आच्छादक है 
4. इनमें से कोई नहीं 

15. यदि f: A → B में आच्छादक फलन हो तो 

1. f (A) ⊂ B 
2. f (A) = B 
3. f (A) ⊃ B 
4. इनमें से कोई नहीं 

16 . यदि f: A → B में अंत: क्षेपी  फलन हो , तो 

1. f (A) ⊂ B 
2. f (A) = B 
3. f (A) ⊃ B 
4. इनमें से कोई नहीं 

उत्तरमाला 

1. (i) एकैकी आच्छादक (ii) बहुएकी अंत: क्षेपी (iii) बहुएकी अंत: क्षेपी 

2. बहुएकी आच्छादक 

3.

1. एकैकी अंत: क्षेपी 
2. बहुएकी तथा अंत: क्षेपी 
3. बहुएकी तथा अंत: क्षेपी
4. एकैकी तथा अंत: क्षेपी
5. एकैकी आच्छादक 
6. बहुएकी तथा अंत: क्षेपी 
7. एकैकी तथा अंत: क्षेपी 
8. एकैकी तथा अंत: क्षेपी 
9. एकैकी आच्छादक 

4. 2⁵ 

11. { (1, 1), (2, 2), (3, 3) }, { (1, 2), (2, 1), (3, 3), }

        { (1, 3), (3, 1), (2, 2) }, { (1, 1), (2, 3), (3, 2) }, 

        { (1, 2), (2, 3), (3, 1) }, { (1, 3), (2, 1), (3, 2) } 

12. a              13. a         14. c          15. b           16. a 

फलनों का संयोजन या फलन का फलन  ( Composition of Functions or Function of function )

माना कि f : A → B तथा g : B → C कोई दो फलन हैं | f तथा g का संयोजन gof द्वारा सूचित होता है तथा निम्न प्रकार से परिभाषित किया जाता है – 

                          ( gof ) :  A → C : ( gof ) ( x ) = g ( f (x ) ), ∀ x ∈ A . 

                                    dom( gof ) = dom( f ) 

तथा go f परिभाषित होने के लिए, range ( f ) ⊆ do m ( g ) . 

नोट : fog परिभाषित होने के लिए range ( g ) ⊆ do m ( f ) तथा dom ( fog ) = dom ( g ) . 

फलन मशीन ( Function Machine ) :

Example : 

माना f = { (1, 2), (3, 5), (4, 1) }

तथा g = { (1, 3), (2, 3), (5, 1) }

dom ( f ) = { 1, 3, 4 }, range ( f ) = { 1, 2, 5 } 

dom ( g ) = { 1, 2, 5 }, range ( g ) = { 1, 3 } 

range ( f ) ⊆ dom ( g ) 

∴ gof परिभाषित है | 

gof ( 1 ) = g ( f ( 1 ) ) = g ( 2 ) = 3 

gof ( 3 ) = g ( ( 3 ) ) = g ( 5 ) = 1 

gof ( 4 ) = g ( f ( 4 ) ) = g ( 1 ) = 3 

gof = { (1, 3), (3, 1), (4, 3) } 

ronge ( g ) ⊆ dom ( f )

∴ fog परिभाषित है | 

 fog ( 1 ) = f ( g ( 1 ) )  = f ( 3 ) = 5 

fog ( 2 ) = f ( g ( 2 ) ) = f ( 3 ) = 5 

fog ( 5 ) = f ( g ( 5 ) ) = f ( 1 ) = 2 

fog = { (1, 5), (2, 5), (5,2) } 

फलनो के संयोजन के कुछ गुणधर्म ( Some properties of composition of function ) 

Property I. फलनों का संयोजन साहचर्य होता है | 

प्रमाण : माना कि f : A → B, g : B → C तथा  h : C → D कोई तीन फलन है | 

तो gof : A → C तथा hog : B → D 

ho ( gof ) : A → D तथा  (hog )of ) : A → D पर परिभाषित होगा | 

∴ dom [ ho ( gof ) ] = dom [ ( hog ) of ] 

[ ho ( gof ) ] ( x ) = h [ ( gof )( x ) ], ∀ x ∈ A

                                   = h [ g { f ( x ) } ] 

                                   = h [ g ( y ) ]  , जहाँ y = f ( x ) 

                                   = h ( z ), जहाँ  z = g ( y ) = g [ f ( x ) ]         — ( i ) 

तथा [ ( hog ) of ] ( x ) = ( hog ) { f ( x ) } 

                                           = ( hog ) ( y ) 

                                           = h [ g ( y ) ] 

                                           = h ( z )                                                      — ( ii )

  समी० ( i ) तथा समी० ( ii ) से, 

[ ho ( gof ) ] ( x ) = [ ( hog )of ] (x), ∀ x ∈ A

                  ho ( gof ) = ( hog ) of 

अत : फलनों का संयोजन साहचर्य होता है | 

Propety II. दो एकैकी आच्छादक फलनों का संयोजन एकैकी आच्छादक होता  है | 

प्रमाण : 

          माना f : A → B तथा g : B → C एकैकी आच्छादक फलन है | तो go f : A → C परिभाषित फलन है | 

gof एकैकी : 

माना ( gof ) ( x₁ ) = ( gof ) ( x₂ ) , ∀ x₁ , x₂ ∈ A  

            g [ f ( x₁ ) ] = g  [ f ( x₂ ) ]           

                    f ( x₁ ) =  f ( x₂ )           [ g एकैकी है ]

                         x₁  = x₂                      [ f एकैकी है ] 

अत : gof एकैकी है | 

gof आच्छादक : 

माना z , C का कोई स्वेच्छ अवयव है | 

g : B → C आच्छादक है, 

∴ z = g ( y ), किसी y ∈ B के लिए 

अब, f : A → B आच्छादक है तथा y ∈ B. 

∴ y = f ( x ), किसी x ∈ A के लिए 

z = g ( y ) = g [ f ( x ) ] = ( gof ) ( x ), ∀ x ∈ A

∴ फलन ( gof ) : A → B आच्छादक है, 

अत : gof एकैकी आच्छादक फलन है | 

Property III. किसी फलन का तत्समक फलन से संयोजक खुद वही फलन होता है | 

या ,

माना f : A → B फलन है | तो सिद्ध करना है : – 

fo I_A = I_B of = f , जहाँ I एक इकाई फलन है | 

प्रमाण :

I_A : A → A तथा f : A → B 

  ∴  foI_A (x) : A → B 

माना x ∈ A ⇒ I_A (x) = x, ∀ x ∈ A 

foI_A (x) = f ( I_A (x) )

                = f (x) 

  ∴   foI_A  = f 

पुन: f : A → B तथा I_B  : B → B ⇒ I_B of : A → B  

माना f (x) = y तो y ∈ B, ∀ x ∈ A 

(I_B of) (x) = I_B ( f (x) ) 

                    = I_B (y)

                    = y 

                    = f (x) 

    ∴    I_B of = f 

अत:   ∴   foI_A = I_B of = f

Property IV :  माना कि  f : A → B  तथा g : B → A दो फलन है ताकि gof = I_A तो f एकैकी तथा g आच्छादक है | 

प्रमाण :

      f एकैकी : 

                 f (x₁ ) = f (x₂ ),     ∀ x₁ , x₂ , ∈ A  

        ⇒ g (  f (x₁ ) ) = g ( f (x₂ ) ) 

                 gof (x₁ ) =go f (x₂ ) 

                     I_A (x₁ ) = I_A (x₂ )           [ gof = I_A ]

                           x₁ = x₂

          ∴  f एकैकी है | 

      g आच्छादक : 

             माना f (x) = y ∈ B, ∀ x ∈ A

             g (y) = g ( f (x) ) 

                     = gof (x) 

         g (y) = I_A (x)                          [ gof = I_A ]

          g (y) = x 

∴फलन g के सहप्रांत A के सभी अवयवों का पूर्व – प्रतिबिंब प्रांत B में है | 

∴ g आच्छादक है | 

Property V : माना कि f : A → B  तथा g : B → A दो फलन है ताकि fog = I_B तो f आच्छादक तथा g एकैकी है | 

प्रमाण :

       f आच्छादक : 

      माना y ∈ B 

g : B → A ⇒ g (y) ∈ A 

माना  g (y) = x 

f (x) = f ( g (y) ) 

         = fog (y) 

         = I_B(y)           [ fog = I_B]

        = y 

फलन f के सहप्रांत B के सभी अवयवों का पूर्व – प्रतिबिंब प्रांत A में है | 

  ∴ f आच्छादक है | 

g एकैकी :

                g (y₁) = g (y₂), ∀ y₁ , y₂ ∈ B   

  ⇒ f ( g (y₁) ) = f ( g (y₂) ) 

  ⇒   fog (y₁) = fog (y₂)

 ⇒      I_B (y₁) = I_B (y₂)          [ fog = I_B]        

  ⇒            y₁ = y₂

      ∴ g एकैकी है | 

Property VI : माना कि f : A → B  तथा g : B → A दो फलन है, तो 

1. gof : A → C आच्छादक है ⇒ g : B → C  आच्छादक है | 
2. gof : A → C एकैकी है ⇒ g : A → B एकैकी है | 
3. gof : A → C आच्छादक है तथा g : B → C  एकैकी है  ⇒ f : A → B आच्छादक है | 
4. gof : A → C एकैकी है तथा f : A → C  आच्छादक है  ⇒ g : B → C एकैकी है | 

प्रमाण :

(i )

    माना z, C का स्वेच्छ अवयव है | 

gof : A → C आच्छादक है, 

∴  x ∈ A ⇒ gof (x) = z ⇒ g ( f (x) ) = z 

                                      ⇒ g (y) = z  , जहाँ  y = f (x) ∈ B

सभी z ∈ C के लिए y = f (x) ∈ B का अस्तित्व है ताकि g (y) = z

अत:  g : B → C आच्छादक है | 

(ii )

    माना

           f (x₁ ) = f (x₂ ),            ∀ x₁ , x₂ , ∈ A  

      ⇒ g (  f (x₁ ) ) = g ( f (x₂ ) ) 

                 gof (x₁ ) =go f (x₂ ) 

                       x₁ = x₂       [ gof = एकैकी है | ]

            अत: f : A → B एकैकी है | 

(iii)

f : A → B आच्छादक : 

        माना y, B का कोई स्वेच्छ अवयव है | 

g : B → C  तो  g (y) ∈ C 

gof : A → C आच्छादक फलन है तथा g (y) ∈ C, इसलिए x ∈ A 

ताकि ( gof ) (x) = g (y) 

          g(f(x))   = g(y)

          f(x)   = y

    y ∈ B के लिए, x ∈ A ताकि f (x) = y 

अत: f : A → C आच्छादक  है | 

(iv)

g : B → C एकैकी : 

f : A → B आच्छादक है |

माना y₁ y₂ ∈ B ताकि f (x₁ ) = y₁ , f (x₂ ) = y₂ , ∀ x₁ , x₂ , ∈ A  

माना  ,  g (y₁) = g (y₂) 

         g  f (x₁ ) ) = g ( f (x₂ )

          g (  f (x₁ ) ) = g ( f (x₂ ) ) 

          ( gof ) (x₁ ) = ( gof ) (x₂ ) 

                         x₁ = x₂              [ gof : A → C एकैकी है | ] 

                  ⇒ f (x₁ ) = f (x₂ )                          [ gof : A → B एक फलन है ]

                 ⇒       y₁ = y₂

        अत: g : B → C एकैकी है |

व्युत्क्रमणीय फलन ( Invertible function ) : 

       यदि फलन f : A → B एकैकी आच्छादक है तो  f^-1  :  B → A जो y ∈ B को एक अद्वितीय x ∈ A से संबध कराता है, f का प्रतिलोम या व्युत्क्रमणीय फलन कहलाता है | 

              f : A → B ⇒ f (x) = y ⇔ f^-1 (y) = x 

        अर्थात ,     f : A → B ⇒ f^-1  :  B → A

       dom (f^-1 ) = range (f)

        range (f^-1 ) = dom (f) 

Examaple : माना f : R → R : f (x) = 2x + 3 परिभाषित फलन है | तो f का प्रतिलोम फलन निकालें | 

हल  :

एकैकी : 

        माना f (x₁ ) = f (x₂ ), ∀ x₁ , x₂ , ∈ R 

                  2x₁ + 3 = 2x₂ + 3 

                        2x₁ = 2x₂   

                         x₁ = x₂   

          ∴ एकैकी है | 

आच्छादक : 

            माना y = f (x) ⇒ y = 2x + 3 

                                      ⇒ x =  ∈ R, जब y ∈ R 

सहप्रांत R  के सभी अवयवों के पूर्व-प्रतिबिंब प्रांत R में है  | 

              ∴ f आच्छादक है |

अत: f एक व्युत्क्रमणीय फलन है | 

∴ f^-1  : R →R : f^-1 (y) = 

या, f^-1  : R →R : f^-1 (x) =  

किसी फलन के प्रतिलोम में गुण ( Properties of Inverse of a function ) 

Property  I. केवल एकैकी आच्छादक फलन का प्रतिलोम फलन होता है | 

प्रमाण :

        माना f : A → B एक व्युत्क्रमणीय फलन है | तो f^-1  :  B → A इस प्रकार परिभाषित है –

  f^-1 (y) = x ⇔ f (x) = y , ∀ x ∈ A , y ∈ B 

माना f एकैकी नहीं है ( यदि यह संभव है  ) |

∴ f (x₁ ) = f (x₂ ) ⇒ x₁ ≠  x₂ , ∀ x₁ , x₂  ∈ A  

माना f (x₁ ) = f (x₂ ) = y 

तो x₁ =  f^-1 (y) 

      x₂  = f^-1 (y)

f^-1 (y) के दो प्रतिबिंब x₁ तथा  x₂ हो जो संभव नहीं है | 

f^-1  :  B → A का अस्तित्व नहीं है | 

अत: f^-1  का अस्तित्व होगा यदि f एकैकी हो | 

       माना f आच्छादक नहीं है ( यदि यह संभव है ) |

तो y ∈ B मिलेगा ताकि y ≠ f (x), ∀ x ∈ A  

f^-1 (y) ≠ x, ∀ x ∈ A 

अर्थात् , f^-1 के अधीन y का प्रतिबिंब नहीं है 

⇒ f^-1  का अस्तित्व नहीं है | 

अत; f^-1  का अस्तित्व होगा यदि f आच्छादक हो | 

Property II. यदि प्रतिलोम फलन का अस्तित्व तो यह भी एक एकैकी आच्छादक फलन होता है | 

प्रमाण :

        माना f : A → B एक एकैकी आच्च्छादक फलन है | 

    तो f^-1  :  B → A जो f^-1 (y) = x ⇔ ∀ x ∈ A, y ∈ B से परिभाषित है , का अस्तित्व है | 

f^-1  एकैकी : 

माना y₁ y₂ ∈ B तो y₁ = f (x₁ ) तथा y₂ = f (x₂ ),किसी x₁ , x₂ , ∈ A के लिए, 

f^-1 ( y₁) = f^-1 (y₂) ⇒ x₁ = x₂ 

  f (x₁ ) = f (x₂ ) 

       y₁ = y₂ 

∴  f^-1 एकैकी है, 

f^-1 आच्छादक: 

f : A → B आच्छादक फलन है | 

माना y ∈ B के लिए y = f (x), ∀ x ∈ A 

∴  f^-1  (y) = x, y ∈ B के लिए 

A के प्रत्येक अवयव का पूर्व प्रतिबिंब B में है | 

∴ f^-1 आच्छादक है |

अत: f^-1 एकैकी आच्छादक फलन है | 

Property III.  प्रतिलोम फलन यदि इसका अस्तित्व है, आद्वितीय होता है | 

प्रमाण :

         माना f : A → B एकैकी आच्छादक फलन है क्योंकि इसके प्रतिलोम का अस्तित्व है | 

माना g : B → A तथा h : B → A, फलन f : A → B के दो प्रतिलोम हैं |

माना y, B का कोई स्वेच्छ अवयव है | 

तो g (y) = x₁ तथा h (y) = x₂ ( माना ) , ∀ x₁ , x₂ , ∈ A 

g तथा h, f का प्रतिलोम है – 

∴  g (y) = x₁ ⇒ f (x₁) = y 

      h (y) = x₂ ⇒ f ( x₂) = y 

f : A → B एकैकी है – 

f (x₁ ) = f (x₂ ) ⇒ x₁ = x₂ 

                            ⇒ g (y) = h (y) 

                            ⇒ g = h 

अत: f^-1  :  B → A अद्वितीय होगा | 

Property IV : यदि f : A → B एक एकैकी आच्छादक फलन है तो fo f^-1  = I_B तथा f^-1o f = I_A , जहाँ I_A तथा I_B क्रमश: समुच्चय A तथा B पर तत्समक फलन है | 

प्रमाण : 

        f : A → B एक एकैकी आच्छादक फलन है f^-1  :  B → A में एकैकी आच्छादक होगा | 

तो f^-1 (y) = x ⇔ f (x) = y, ∀ x ∈ A, y ∈ B

∴  ( fo f^-1 )(y) = f ( f^-1(y) ),  ∀ y ∈ B 

                      = f (x) 

                      = y 

                     = I_B

            ∴  fo f^-1 = I_B

पुन: ( f^-1o f) (x) = f^-1 ( f ( x) ),        ∀ x ∈ A

                                = f^-1(y) 

                                = x 

                               = I_A

              ∴  fo f^-1 = I_A  

    अत: fo f^-1 = I_B तथा fo f^-1 = I_A  

Property V :  माना f : A → B तथा g : B → A दो फलन हैं ताकि gof = I_A  तथा gof = I_B तो f तथा g एकैकी आच्छादक हैं तथा g = f^-1 

प्रमाण :

        f एकैकी : 

                      f (x₁ ) = f (x₂ ), ∀ x₁ , x₂ ∈ A  

                  g ( f (x₁ ) ) = g ( f (x₂ ) )

                (gof) (x₁ ) = (gof) (x₂ )    [ gof = I_A ]  

                   I_A (x₁ ) = I_A (x₂ )

                          x₁  = x₂

            ∴ f एकैकी है | 

f आच्छादक : 

            माना y ∈ B तथा, g (y) = x तो

                   g (y) = x 

             f (g (y) ) = f ( x ) 

            (fog) (y) = f (x)           [ gof = I_B ]

                I_B(y)  = f (x)

                          y = f (x) 

इस प्रकार प्रत्येक y ∈ B के लिए x ∈ A मिलेगा ताकि f (x) = y 

  ∴ f आच्छादक है | 

अत: f एकैकी आच्छादक है |  

इसीप्रकार, g एकैकी आच्छादक है | 

सावित करना है कि g = f^-1 :

f : A → B एकैकी आच्छादक है | 

    ∴ f^-1 का अस्तित्व है | 

fog = I_B 

_{f^-1 o(fog)} = f^-1oI_B 

(f^-1०f) og = f^-1         [ By associativity ]

I_A og = f^-1

g = f^-1  

Property VI.  माना f : A → B एक व्युत्क्रमणीय फलन है, तो (f^-1)^-1 = f  

प्रमाण :

        f : A → B एक व्युत्क्रमणीय फलन है | 

     व्युत्क्रमणीय फलन का प्रतिलोम भी व्युत्क्रमणीय होता है | 

f^-1  :  B → A भी व्युत्क्रमणीय होगा  तथा

f^-1  :  B → A, फलन f का प्रतिलोम होगा | 

∴ fo f^-1 = I_A तथा fo f^-1 = I_B

f^-1  का प्रतिलोम f है | 

∴ (f^-1)^-1 = f   

Property VII :   यदि f : A → B तथा g : B → C एकैकी आच्छादक फलन हैं, तो (fog)^-1 = f^-1 og^-1

प्रमाण :

          f : A → B तथा g : B → C एकैकी आच्छादक फलन हैं| 

                  ∴ gof : A → C एकैकी आच्छादक है | 

            f^-1 : B → A तथा g^-1 : C → B का अस्तित्व है | 

        ∴ (fog)^-1 : C → A तथा f^-1 og^-1 : C → A 

            (fog)^-1 (z) = x ⇔ (gof) (x ) = z, ∀ x ∈ A z ∈ C 

                                        ⇔ g ( f (x) ) = z 

                                        ⇔ g (y) = z, जहाँ y = f (x) 

                                        ⇔ y = g^-1 (z)

                                        ⇔ f^-1 (y) = f^-1 (g^-`1 (z) )

                                        ⇔ f^-1 (y) = (f^-1 og^-1 ) (z) 

                                        ⇔ x = ( f^-1 og^-1 ) (z)     [ f^-1 (y) = x ]

(gof)^-1 (z) = (f^-1 og^-1 ) (z),    ∀ z ∈ C   

      (gof)^-1  = f^-1 og^-1 

 

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