बहुपद | Polynomials | Class 10th Math | Chapter 2 | Hindi Medium

बहुपद ( Polynomials )– चर x में एक ऐसा बीजीय व्यंजक , जिसमें x के केवल अऋणात्मक घात हो बहुपद कहलाता है | या , 

के रूप का कोई कोई बीजीय व्यंजक , जहाँ तथा n एक पूर्ण संख्या है , n घात वाला बहुपद कहलाता है |

यहाँ को बहुपद का गुणांक कहते है |

बहुपद का घात ( Degree of Polynomials ) – किसी बह्पद में सबसे बड़े घात वाले पद के घातांक को उस बहुपद का घात कहते है |जैसे – 

बहुपद का मानक रूप ( Standard form of Polynomial )– बहुपद के पदों को चर के घातों के आरोही या अवरोही क्रम में सजाने पर प्राप्त बहुपद को बहुपद का मानक रूप कहते है | जैसे –

बहुपदों का वर्गीकरण ( Classification of polynomials ) – 

पदों के अनुसार बहुपद के निम्नलिखित प्रकार होते है –

1.  एकपदी बहुपद ( Monomial ) – एक पद वाले बहुपद को एकपदी बहुपद कहते हैं | जैसे –
2. द्विपदी बहुपद ( Binomial ) – दो पद वाले बहुपद को द्विपदी बहुपद कहते हैं | जैसे –
3. त्रिपदी बहुपद ( Trinomial ) – तीन पद वाले बहुपद को त्रिपदी बहुपद कहते हैं | जैसे –
4. शून्य बहुपद ( Zero polynomials ) – जिस बहुपद के सभी गुणांक शून्य हों , उसे शून्य बहुपद कहते हैं | जैसे –
5. अचर बहुपद ( Constant polynomial )- जिस बहुपद में एक पद है और वह पद वास्तविक संख्या हो , तो उसे अचर पद कहते हैं | जैसे – p(x )= 2 , p(x )=√3 

नोट – शून्य बहुपद का घात अपरिभाषित होता है |

बहुपद के प्रकार –

1. रैखिक बहुपद ( Linear polynomials ) – एक  घात वाले बहुपद को रैखिक बहुपद कहते हैं | जैसे –

रैखिक बहुपद का व्यापक या सामान्य रूप p(x) = ax +b , जहाँ  a,b ∈ R तथा a ≠ 0  होता है | 

        2. द्विघात बहुपद ( Quadratic polynomials ) – दो घात वाले बहुपद को द्विघात बहुपद कहते हैं | जैसे –

द्विघात बहुपद का व्यापक या सामान्य रूप , जहाँ  a,b, c ∈ R तथा a  ≠ 0  होता है | 

        3. त्रिघात बहुपद ( Cubic polynomials ) – तीन  घात वाले बहुपद को त्रिघात बहुपद कहते हैं | जैसे –

त्रिघात बहुपद का व्यापक या सामान्य रूप  , जहाँ  a,b ,c , d ∈ R तथा a ≠ 0  होता है | 

बहुपद का मान  ( Value of polynomial )– जब बहुपद में चरों  का विशेष मान रखा जाता है ,तो बहुपद का मान मिलता  है |

बहुपद के शून्यक (Zero of a polynomials )– बहुपद के  चर का वह विशेष मान जो बहुपद का मान 0 के बराबर कर दे, बहुपद का शून्यक कहलाता है |

नोट –

1. रैखिक बहुपद का एक शून्यक होते हैं |
2. द्विघात बहुपद के अधिक से अधिक दो शून्यक होते हैं |
3. त्रिघात बहुपद के अधिक से अधिक तीन शुन्यक होते हैं |
4. शुन्य बहुपद का शून्यक प्रत्येक वास्तविक संख्या होता  है |

बहुपद के शुन्यक का ज्यामितीय अर्थ ( Geometric meaning of zeroes of a polynomial )- यदि कोई बहुपद  p (x)  हो तो y = p (x)  का आलेख खीचने पर , x-अक्ष पर आलेख द्वारा प्रतिच्छेद बिन्दुएँ बहुपद  p (x) के शुन्यक होंगे |

बहुपद के शुन्यकों और गुणांकों के बीच संबंध ( Relation between zeroes and coefficients of a polynomials )

1. रैखिक बहुपद के शुन्यकों और गुणांकों के बीच संबंध ( Relation between zeroes and coefficients of a linear polynomials )- माना  p(x) = ax +b, जहाँ  a,b ∈ R तथा a ≠ 0 , एक रैखिक बहुपद है जिसका शुन्यक α है |
2. द्विघात बहुपद के शुन्यकों और गुणांकों के बीच संबंध ( Relation between zeroes and coefficients of a quadratic polynomials )- माना , जहाँ  a,b, c ∈ R तथा a  ≠ 0 , एक द्विघात बहुपद है जिसके शुन्यक α तथा β हैं | 

यदि α तथा β किसी द्विघात बहुपद के शुन्यक है , तो द्विघात बहुपद 

     3.  त्रिघात बहुपद के शुन्यकों और गुणांकों के बीच संबंध ( Relation between zeroes and coefficients of a cubic polynomials )- माना , जहाँ  a,b ,c , d ∈ R तथा a ≠ 0 , एक त्रिघात बहुपद  है जिसके शुन्यक α , β तथा γ  हैं | 

यदि α , β तथा γ किसी त्रिघात  बहुपद के शुन्यक है , तो त्रिघात बहुपद 

बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म ( Division algorithm for polynomials )– यदि p(x) और g(x) कोई दो बहुपद हैं , जहाँ g(x)≠0 . तो हम ऐसे दो बहुपद q(x) और r(x) प्राप्त कर सकते हैं कि p(x)= g(x) × q(x) + r(x) , जहाँ r(x)= 0 है या r(x) का घात < g(x) का घात है |

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