बहुपद | Polynomials | Class 9th Math | Hindi Medium | Notes

चर ( Variables ) – वह राशि जो भिन्न-भिन्न मानो को धारण कर सकती है ,चर कहलाती है | चर को प्रायः अंग्रेजी वर्णमाला के छोटे अक्षरों ( x , y ,z …….. ) से सूचित किया जाता है | 

अचर ( Constant ) – वह राशि  जो निश्चित हो अर्थात जिसमे परिवर्तन नहीं होता है , अचर कहलाती है | जैसे – 2/7 , 4, 0, -√3 

बीजगणितीय पद ( Algebraic terms ) – चर और अचर के गुणनफल को बीजगणितिय पद कहते है |जैसे –

गुणांक (Coefficient ) – किसी पद में गुणा करने वाली राशि को पद का गुणांक कहते है | 

पद का घात ( Degree of terms ) – पद के सभी चर के घातांको का योगफल , पद का घात कहलाता है | 

सजातीय पद (Like terms)– समान चर वाले पदों को सजातीय पद कहते हैं |

 विजातीय पद ( Unlike terms )– असमान चर वाले पदों को विजातीय पद कहते हैं |

बीजगणितीय व्यंजक ( Algebraic expression ) – एक या एक से अधिक बीजीय पदों से बने व्यंजक को बीजगणितीय व्यंजक कहते है |

बहुपद ( Polynomials )– चर x में एक ऐसा बीजीय व्यंजक , जिसमें x के केवल ऋणात्मक घात हो बहुपद कहलाता है | या , 

के रूप का कोई कोई बीजीय व्यंजक , जहाँ तथा n एक पूर्ण संख्या है , n घात वाला बहुपद कहलाता है |

यहाँ को बहुपद का गुणांक कहते है |

बहुपद का घात ( Degree of Polynomials ) – किसी बह्पद में सबसे बड़े घात वाले पद के घातांक को उस बहुपद का घात कहते है |जैसे – 

बहुपद का मानक रूप ( Standard form of Polynomial )– बहुपद के पदों को चर के घातों के आरोही या अवरोही क्रम में सजाने पर प्राप्त बहुपद को बहुपद का मानक रूप कहते है | जैसे –

बहुपदों का वर्गीकरण ( Classification of polynomials ) – 

पदों के अनुसार बहुपद के निम्नलिखित प्रकार होते है –

1.  एकपदी बहुपद ( Monomial ) – एक पद वाले बहुपद को एकपदी बहुपद कहते हैं | जैसे –
2. द्विपदी बहुपद ( Binomial ) – दो पद वाले बहुपद को द्विपदी बहुपद कहते हैं | जैसे –
3. त्रिपदी बहुपद ( Trinomial ) – तीन पद वाले बहुपद को त्रिपदी बहुपद कहते हैं | जैसे –
4. शून्य बहुपद ( Zero polynomials ) – जिस बहुपद के सभी गुणांक शून्य हों , उसे शून्य बहुपद कहते हैं | जैसे –

नोट – शून्य बहुपद का घात अपरिभाषित होता है |

घातों के अनुसार बहुपद के निम्नलिखित प्रकार होते हैं –

1. रैखिक बहुपद ( Linear polynomials ) – 1 घात वाले बहुपद को रैखिक बहुपद कहते हैं | जैसे –
2. द्विघात बहुपद ( Quadratic polynomials ) – 2 घात वाले बहुपद को द्विघात बहुपद कहते हैं | जैसे –
3. त्रिघात बहुपद ( Cubic polynomials ) – 3 घात वाले बहुपद को त्रिघात बहुपद कहते हैं | जैसे –

बहुपद का मान  ( Value of polynomial )– जब बहुपद में चरों  का विशेष मान रखा जाता है ,तो बहुपद का मान मिलता  है |

बहुपद के शून्यक (Zero of a polynomials )– बहुपद के  चर का वह विशेष मान जो बहुपद का मान 0 के बराबर कर दे, बहुपद का शून्यक कहलाता है |

नोट –

1. रैखिक बहुपद का एक शून्यक होते हैं |
2. द्विघात बहुपद के अधिक से अधिक दो शून्यक होते हैं |
3. त्रिघात बहुपद के अधिक से अधिक तीन शुन्यक होते हैं |
4. शुन्य बहुपद का शून्यक प्रत्येक वास्तविक संख्या होता  है |

शेषफल प्रमेय ( Remainder theorem )-यदि P (x),1 या 1 से अधिक घात वाला कोई बहुपद हो तथा a कोई वास्तविक संख्या हो तो p (x)को (x-a)से भाग देने पर शेषफल p(a) प्रप्त होगा |

गुणनखंड प्रमेय ( Factor theorem ) -यदि p(x),1 से 1 से अधिक घात वाला कोई बहुपद है तथा a एक वास्तविक संख्याहै तो x-a ,p(x)का एक गुणनखंड होगा यदि और केवल यदि p(a)=0 |

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