संबंध (Relation) – Class 12th Mathematics Notes & Exercise By Ravikant Sir

कक्षा 11वीं की कुछ उपयोगी परिभाषाएँ : – 

समुच्चय (Set) – सुपरिभाषित वस्तुओं के संग्रह को समुच्चय कहते हैं | संग्रह की वस्तुओं को अवयव (element) या सदस्य (member) कहते हैं | 

              समुच्चयों को अंग्रेजी वर्गामाला के बड़े अक्षरों या कुछ ग्रीक संकेतों से सूचित किया जाता है | जैसे – A, B, C, D, ………. या Φ, Ω, Ψ, …….. 

जैसे : – ( i ) A = अंग्रेजी वर्णमाला के सभी स्वरों का संग्रह | 

                      A = { a, e, i, o, u }

              ( ii ) B = सभी प्राकृत संख्याओं का संग्रह | 

                       B = { 1, 2, 3, 4, 5, ………………..} 

संकेत ‘∈’ (belongs to) तथा ‘∉’ (not belongs to) :

( a ) यदि x समुच्चय A का अवयव है तो इसे x ∈ A लिखते है | 

( b ) यदि x समुच्चय A का अवयव नहीं है तो इसे x ∉ A लिखते हैं | 

 

उपसमुच्चय (Subsets) : यदि समुच्चय A के सभी अवयव समुच्चय B में हो, तो समुच्चय A, समुच्चय B का उपसमुच्चय कहलाता है और इसे A ⊆ B लिखते हैं | 

जैसे – A = { 1, 2, 3 }

           B = { 1, 2, 3, 4, 5 }

           A ⊆ B 

अर्थात् A, B का उपसमुच्चय (Subsets) है | 

क्रमित युग्म (Ordered Pair) – दो अरिक्त समुच्चय A और B दिए रहने पर हम समुच्चय A का कोई अवयव x तथा समुच्चय B का कोई अवयव y लेकर दो युग्म (x, y) या (y, x) बना सकते हैं, जिसे क्रमित युग्म कहते हैं | 

 समुच्चयों के कार्तीय गुणन (Cartesian Product of set) : यदि A तथा B दो अरिक्त समुच्चय हैं तो A तथा B के कार्तीय गुणन को A x B (A Cross B) द्वारा सूचित किया जाता है तथा निम्न प्रकार से परिभाषित किया जाता है | 

A x B = { (x, y) : ∀ x ∈ A, y ∈ B }                               संकेत ‘∀’ – सभी के लिए (For all) 

Example :    A = { 1, 2, 3 },        B = { 4, 5 }

A x B = { (1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5) } 

संबंध (Relation)

समुच्चय A का समुच्चय B से संबंध या समुच्चय A से B में संबंध (Relation from a set A to set B) : 

यदि A तथा B दो अरिक्त समुच्चय है, तब समुच्चय R को समुच्चय A से समुच्चय B में संबंध कहा जाता है यदि R ⊆ A x B 

Example :  A = { 1, 2, 3, } ,  B = { 4, 5 } 

A x B = { (1, 4 ), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4) (3, 5) }

   (i ) R₁ = { (1, 4), (1, 5), (3, 4) }     

∴ R₁ ⊆ A x B 

(ii) R₂ = { (1, 5) } 

R₂ ⊆ A x B 

(iii) R₃ = Φ

R₃ ⊆ A x B 

(iv) R₄ = { (2, 4), (2, 5), (3, 6) } 

R₄ ⊄ A x B 

∴ R_{1 ,} R_2, R₃  समुच्चय A से समुच्चय में संबंध है लेकिन R₄ नहीं है [ (3, 6) ∉ A x B ] 

संबंध के प्रांत, परिसर तथा सहप्रांत (Domain, Range and Co- domain) : 

यदि R, A से B में एक संबंध है तो 

1. संबंध R के सभी क्रमित युग्मों के प्रथम घटकों का समुच्चय, संबंध R का प्रांत कहलाता है | 
2. संबंध R के सभी क्रमित युग्मों के द्वितीय घटकों का समुच्चय संबंध R का परिसर कहलाता है | 
3. समुच्चय B को संबंध R का सहप्रांत कहते हैं | 

Example : A = { 1, 2, 3 },    B = { 4, 5, 6 } 

A x B = { (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6) } 

R = { (1, 4), (2, 4), (1, 6) }

           R ⊆ A x B 

∴ R, A से B में एक संबंध है | 

Dom ( R ) = { 1, 2 },  Range ( R ) = { 4, 6 }   , Co- domain = { 4, 5, 6 } 

∗ A से B में संबंधों की संख्या = A x B के उपसमुच्चयों की संख्या 

∴ यदि n ( A ) = P तथा n ( B ) = q हो p x q 

तो A से B में संबंधों की संख्या = 2^p×q

एक समुच्चय से दूसरे समुच्चय में संबंधों के प्रकार ( Types of Relation from one set to another set )- 

( i ) रिक्त संबंध ( Empty Relation ) – A x B का उपसमुच्च Φ, A से B में रिक्त संबंध कहलाता है | 

Example :  A = { 1, 3, 5 },  B { 7, 9 } 

R = { (x, y) : x ∈ A, y ∈ B तथा | x – y | एक विषम संख्या है } 

A x B = { (1, 7), (1, 9), (3, 7), (3, 9), (5, 7), (5, 9) } 

                | 1 – 7 | = | – 6 | = 6, एक विषय संख्या नहीं है | 

                | 1 – 9| = | – 8 | = 8, एक विषय संख्या नहीं है | 

                | 3 – 7 | = | – 4 | = 4 एक विषम संख्या नहीं है | 

                | 3 – 9 | = | – 6 | = 6 एक विषम संख्या नहीं है | 

                | 5 – 7 | = | – 2 | = 2, एक विषम संख्या नहीं है | 

                | 5 – 9 | = | – 4 | = 4 एक विषम संख्या नहीं है | 

∴ R = Φ 

अत : R, A से B में एक रिक्त संबंध है | 

( ii ) सार्वत्रिक संबंध (Universal Relation) : समुच्चय A से B में संबंध R को सार्वत्रिक संबंध कहते हैं यदि R = A x B 

    Example :  A = { 1, 3, 5 },    B = { 7, 9 } 

R = { (x, y) : x ∈ A, y ∈ B तथा | x – y | एक सम संख्या है } 

A x B = { (1, 7), (1, 9), (3, 7), (3, 9), (5, 7), (5, 9) } 

                | 1 – 7 | = | – 6 | = 6, एक सम संख्या है | 

                | 1 – 9 | = | – 8 | = 8, एक सम संख्या है | 

                | 3 – 7 | = | – 4 | = 4, एक सम संख्या है | 

                | 3 – 9 | = | – 6 | = 6, एक सम संख्या है |  

                | 5 – 7 | = | – 2 | = 2, एक सम संख्या है | 

               | 5 – 9 | = | – 4 | = 4, एक सम संख्या है |

∴ R = { ( 1, 3), (1, 9), (3, 7), (3, 9), (5, 7), (5, 9) } 

    R = A x B 

अत : R, A से B में एक सार्वत्रिक संबंध है | 

किसी समुच्चय पर संबंध (Relation on a set) 

यदि A एक अरिक्त समुच्चय हो तब समुच्चय R को समुच्च्काय A संबंध कहा जाता है यदि R ⊆ A x A. 

Example ; –  A = { 1, 3, 5 } 

A x A = { (1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5) }

R₁ = { ( 1, 3), (1, 5), (3, 3) }

R₂ = { (1, 3), (1, 5), (3, 5), (5, 1) } 

R₃ = Φ

R₄  = { (1, 3), (3, 1), (5, 6) } 

R₁ , R₂ तथा R₃ समुच्चय A पर संबंध है और R₄ नहीं है | ( क्योंकि ( 5, 6 ) ∉ A x A ) 

∗ समुच्च्याय A पर संबंधों की संख्या = A x A के उपसमुच्चयों की संख्या 

यदि n( A ) = P हो, तो समुच्चय A पर संबंधों की संख्या = 2 ^pxp  =

किसी समुच्चय पर संबंधों के प्रकार (Types of a Relation on set) : 

( i ) रिक्त संबंध (Empty Relation) : किसी समुच्चय A पर परिभाषित संबंध R रिक्त संबंध कहलाता है, यदि R = Φ ⊆ A x A 

Example :  A = { 4, 5, 6 } 

R = { (x, y) : x, y ∈ A तथा x – y = 8 } 

A x A = { (4 , 4), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6) } 

4 – 4 = 0 ≠ 8  ,  5 – 6 – 1 ≠ 8 

4 – 5 = – 1 ≠ 8  , 6 – 4 = 2 ≠ 8 

4 – 6 = – 2 ≠ 8  ,6 – 5 = 1 ≠ 8 

5 – 4 = 1 ≠ 8  , 6 – 6 = 0 ≠ 8 

5 – 5 = 0 ≠ 8  

∴ R = Φ 

अत : R, समुच्चय A पर एक रिक्त संबंध है, 

( ii ) सार्वत्रिक संबंध ( Rnivesal Relation ) : किसी समुच्चय A पर परिभाषित संबंध R को सार्वत्रिक संबंध कहते हैं ; यदि R = A x A. 

Example : A = { 7, 8 } 

R = { (x, y) : x , y ∈ A तथा x + y > 10 } 

7 + 7 = 14 > 10,          7 + 8 = 15 > 10 

8 + 7 = 15 > 10,           8 + 8 = 16 > 10 

∴ R = { (7, 7), (7, 8), (8, 7), (8, 8) }

    R = A x A 

अत : R समुच्चय A पर सार्वत्रिक संबंध है | 

( iii ) तत्समक संबंध (Identity Relation) : समुच्चय A पर कोई संबंध R तत्समक संबंध कहलाता है यदि R = { (a, a) ; ∀ a ∈ A } 

Example : A = { 1, 2, 3 } 

          I_A = { (1, 1), (2, 2), (3, 3) }

( iv ) स्वतुल्य संबंध (Reflexive Relation) : किसी अरिक्त समुच्चय A पर संबंध R एक स्वतुल्य संबंध कहलाता है यदि सभी a ∈ A के लिए (a, a) ∈ R. 

Example :  माना, A { 1, 2, 3 }

R₁ = { (1, 1), (2, 2), (3, 3) } 

R₂ = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3) }

R₃ = { (1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 3), (3, 1) } 

R₁ तथा R₂  स्वतुल्य संबंध है तथा R₃ स्वतुल्य संबंध नहीं है | [ क्योंकि (3, 3) ∉ R₃ ]

( v ) सममित संबंध (Symmatric Relation) : समुच्च्चय A पर कोई संबंध R सममित संबंध कहलाता है यदि (a, b) ∈ R ⇒  (b, a) ∈ R ∀ a, b ∈ A . 

Example :  माना, A = { 1, 2, 3 } 

R₁ = { (1, 1), (2, 2), (3, 3) } 

R₂ = { (1, 2), (2, 1) }

R₃ = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3), (3, 1) } 

R₄  = { (1, 1), (2, 1), (3, 2), (2, 3) } 

R₁ , R₂  तथा R₃सममित संबंध है तथा R₄  सममित संबंध नहीं है | [ क्योंकि (1, 2) ∉ R₄ ]

( vi ) संक्रामक संबंध (Transitive Relation) : समुच्चय A पर कोई संबंध संक्रामक संबंध कहलाता है यदि (a, b) ∈ R तथा (b, c) ∈ R⇒ (a, c) ∈ R ∀ a, b, c ∈ A .

Example :  A = { 1, 2, 3 } 

R₁ = { (2, 3), (3, 2), (2, 2) } 

R₂ = { (1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1) }

R₃ = { (2, 3) } 

R₄  = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3) }

R₁ , R₂  तथा R₃ संक्रामक संबंध है तथा R₄  संक्रामक संबंध नहीं है | [ क्योंकि (1, 3) ∉ R₄ ]

( vii ) प्रतिसममित संबंध (Antisymmetric Relation) : समुच्चय A पर को संबंध R प्रतिसममित संबंध कहलाता है यदि (a, b) ∈ R  ⇒  (b, a) ∉ R  ∀ a, b ∈A . 

या , समुच्चय A पर को संबंध R प्रतिसममित संबंध कहलाता है यदि (a, b) ∈ R तथा (b,a ) ∈ R तो a = b   ∀ a, b ∈A . 

Example :  A = { 1, 2, 3 } 

R₁ = { (1, 2), (1, 3), (1, 1) } 

R₂ = { (1, 3) }

R₃ = { (1, 3), (3, 1) } 

R₁ तथा R₂  प्रतिसममित संबंध है और R₃ प्रतिसममित संबंध नहीं है | 

( viii ) तुल्यता संबंध (Equivalence Relation) : किसी समुच्चय A पर परिभाषित संबंध R एक तुल्यता संबंध कहलाता है यदि R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक हो | 

Example : माना T किसी समतल में स्थित समस्त त्रिभुजों का एक समुच्चय है | समुच्चय T में R = { (T₁ , T₂ ) ; (T₁  ≅ T₂ } एक संबंध है | सिद्ध करें कि R एक तुल्यता संबंध है |

स्वतुल्य : T₁  ≅ T₁  ⇒ (T₁ ,T₁ )∈ R 

                ∴ R स्वतुल्य संबंध है, 

सममित :  (T₁ , T₂ ) ∈ R ⇒ T₁  ≅ T₂ 

                                        ⇒ T₂   ≅ T₁

                                      ⇒   (T₁ , T₂ ) ∈ R

∴ R सममित संबंध है | 

संक्रामक : (T₁ , T₂ ) ∈ R तथा    (T₁ , T₂ ) ∈ R 

                 ⇒  T₁  ≅ T₂ तथा  T₂   ≅ T₃ 

                ⇒ T₁  ≅ T₃ 

                ⇒ (T₁ , T₃ ) ∈ R

          ∴ R संक्रामक संबंध है | 

अत : R तुल्यता संबंध है | 

प्रतिलोम संबंध (Inverse Relation) : माना  R ⊆ A x B, A से B में एक संबंध है | तो R के प्रतिलोम संबंध को R^-1 से सूचित किया जाता है तथा निम्न प्रकार से परिभाषित किया जाता है |

R^-1 = { (b, a); (a, b)∈ R }  , जहाँ     R^-1 = B x A 

Dom (R^-1 ) = Range ( R ),       Range ( R^-1 ) = Dom ( R ) 

         (R^-1 )^-1 = R . 

Example :  A = { 1, 2, 3 },    B = { 4, 5 } 

R = { (1, 4), (1, 5), (3, 5) }

R^-1 = { (4, 1), (5, 1), (5, 3) } 

सर्वागसम मॉडयूलो संबंध (Congruence Modulo Relation) : माना a और b कोई दो पूर्णांक है तथा m कोई धन पूर्णांक है | तो a, b के सर्वागसम मॉडयूलो m कहा जाता है यदि       a – b, m से विभाज्य दो तथा इसे संकेत में a ≅  b (mod m) लिखा जाता है | 

Example : 27 ≅  2 ( mod 5 ) 

क्योंकि 27 – 2 = 25, 5 से विभाज्य है 

प्रमेय 1. यदि R एक तुल्यता संबध है तो R^-1 की एक तुल्यता संबंध होगा | 

प्रमाण :  माना a, b तथा c समुच्चय A के अवयव हो | 

माना R, समुच्चय A पर एक संबंध हो |

R⊆ A x A ⇒ R^-1 ⊆   A x A

∴ R^-1 की एक संबंध है |  

स्वतुल्य : माना, (a, a)∈ R , ∀ a ∈  A

⇒ (a, a) ∈  R^-1  (प्रतिलोम संबंध की परिभाषा से, )

∴ R^-1  एक स्वतुल्य संबंध है |

सममित  : माना (a, b) ∈ R^-1 ⇒ (b, a) ∈ R   [ प्रतिलोम संबंध की परिभाषा से ] 

                                    ⇒ (a, b) ∈ R    [ R सममित है ] 

                                    ⇒ (b, a) ∈ R^-1   [ प्रतिलोम संबंध की परिभाषा से ] 

    (a, b) ∈ R^-1  ⇒ (b, a) ∈ R^-1 

 संक्रामक : माना    (a, b) ∈ R^-1 तथा   (b, c) ∈ R^-1 

                    ⇒ (b, a) ∈ R  तथा  (c, b) ∈ R    [ प्रतिलोम संबंध की परिभाषा से ] 

                    ⇒ (c, b) ∈ R तथा  (b, a) ∈ R

                     ⇒ (c, a) ∈ R                      [  R संक्रमाक है, ]

                    ⇒ (a, c) ∈ R^-1         [ प्रतिलोम संबंध की परिभाषा से ]    

       (a, b) ∈ R^-1  तथा  (b, c) ∈ R^-1     ⇒ (a, c) ∈ R^-1  ∀ a, b, c ∈ A 

          ∴ R^-1   एक संक्रामक संबंध है | 

   अत : R^-1   एक तुल्यता संबंध है | 

दो संबधो का संयोजन (Definition of Equivalence Class) : माना किसी अरिक्त संबंध है R एक तुल्यता संबंध है माना a, A का कोई अवयव है | समुच्चय A के उन सभी अवयवों का समुच्चय जो a से संबंध R द्वारा संबंधित है को a को शामिल करना हुआ तुल्यता वर्ग कहते हैं | इसे [ a ] या ā का A_a से सूचित किया जाता है | 

     [ a ] = { x : x ∈  A तथा (x, a) ∈  R } 

प्रशनावली 1.1 

1. संबंध R का प्रांत तथा परिसर ज्ञात करें | R = { (1, 1), (2, 3), (4, 2), (3, 1) } 
2. माना A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } में R = { (x, y) : x ∈ A, y ∈  B तथा y, x से पूर्णत : विभाज्य है } द्वारा परिभाषित है  | तो संबंध R का प्रांत, परिसर तथा प्रांत ज्ञात करें | 
3. माना A { 1, 2, 3, 4 } तथा R₁ = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) }, R₂ = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 3), (3, 2) } , R₃ = { (2, 4), (4, 2), (4, 4) } , R₄ = { (1, 2) } , R₅ = { (1, 1), (2, 2) } इनमें से कौन-सा संबंध स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है |
4. निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित में से प्रत्येक संबंध स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है –          

1. समस्त पूर्णांकों के समुच्चय Z में R = { (x, y) : x – y एक पूर्णांक है } द्वारा परिभाषित है | 
2. A = { 1, 2, 3 } पर R = { (x, y) : x, y ∈ A तथा x = y } द्वारा परिभाषित है | 
3. किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध R 

1. R = { (x, y) : x, y की पत्नी है } 
2. R = { (x, y) : x तथा y एक ही स्थान पर कार्य करते हैं }
3. R = { (x, y) : x, y के पिता हैं } 
4. R = { (x, y) : x, y से 7 cm लंबा है } 

5. यदि A = { 1, 2, 3 } तो A पर निम्नलिखित संबंधो को परिभाषित कीजिए | 

1. जो स्वतुल्य और संक्रामक नहीं लेंकिन सममित हो | 
2. जो स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक हो | 
3. जो स्वतुल्य और संक्रामक हो लेकिन सममित नहीं हो | 

6. माना R = { (a : b) ; a ⋅ b ∈ z तथा a + b सम है } तो साबित करें की R, Z पर एक तुल्यता संबंध है | 

7. सिद्ध कीजिए कि A = { 1, 2, 3, 4, 5 } में R = { (a, b) ; | a – b | सम है } द्वारा प्रदंत संबंध R एक तुल्यता संबंध है | 

8. माना कि xy – तल में स्थित सभी रेखाओं का समुच्चय L में R = { ( L₁ , L₂ ) ; L₁ || L₂ } द्वारा परिभाषित संबंध R है | सिद्ध कीजिए कि R तुल्यता संबंध है | 

9. माना कि N सभी प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है N x N पर एक संबंध (a, b) R (c, d) ⇔ a + d द्वारा परिभाषित है दिखाएँ कि R एक तुल्यता संबंध है | 

10. समित संख्याओं के समुच्चय (0 के अतिरिक्त ) पर परिभाषित एक संबंध इस प्रकार है, कि Z₁  R Z₂ ⇔    एक वास्तविक संबंध है | सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है | 

11. माना कि A = { 1, 2, 3 } तो दिखाएँ कि A पर (2, 3) तथा (3, 2) को इसलिए करने वाले तुल्यता संबंधों की संख्या 2 है | 

12. यदि R = {(4,5 ),(1,4),(4,6),(7,6),(3,7)} तो R ^-1 OR ज्ञात करें |

बहु  विकल्पीय प्रश्न (Multiple choice question )

13. एक संबंध R तुल्यता संबंध कहलाता है यदि R –

(a) केवल स्वतुलय है 

(b) केवल सममित है

(c) केवल संक्रामक है   

(d) स्वतुलय , सममित तथा संक्रामक है  

14.यदि n (A)= 4 तथा n (B)=3 हो तो A से B में संबंधो की संख्या होगी – 

(a)4096     (b) 256      (c)1024  (d)12 

15. मान लीजिए की समुच्चय N में R {(a,b); a=b-2 , b >6} द्वारा प्रदत्त संबंध R है | निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए –

(a)(2,4)∈ R   (b)(3,8)∈ R    (c)(6,8)∈ R    (d)(8,7)∈ R 

16.  माना R में एक संबंध R इस प्रकार परिभाषित है कि aRb यदि a>b तो संबंध R 

(a) सममित तथा संक्रामक है किन्तु स्वतुल्य नहीं है |

(b) स्वतुल्य तथा संक्रामक है   किन्तु सममित नहीं है | 

(c) न तो स्वतुल्य ,न सममित और न ही संक्रामक है | 

(d) एक तुल्यता संबंध है | 

17. माना A = {2,4,6,8} तथा  संबंध R ={(2,4), (4,2),(4,6), (6,4)}, A पार परिभाषित है तो R –

(a) स्वतुल्य संबंध   

(b) सममित संबंध 

(c) संक्रामक सम्बंध 

(d) तुल्यता संबंध 

18. यदि f:R→R पर f={(1,1),(2,2), (3,3)} परिभाषित संबंध है तो f 

(a) स्वतुल्य 

(b) सममित 

(c) संक्रामक 

(d)इनमें से कोई नहीं 

19. “कन्ग्रुएन्स माडुलो  m ” एक संबंध है – 

(a) स्वतुल्य 

(b) सममित 

(c) संक्रामक 

(d) तुल्यता 

20. माना A = {1,2} है तो समुच्चय A पर संबंध की कुल संख्या है – 

(a) 2 

(b) 4 

(c) 8 

(d) 16  

21. समुच्चय A = {1,2,3,4} पर संबंध R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (3,1)} परिभाषित है तो R – 

(a) स्वतुल्य 

(b) सममित

(c)संक्रामक

(d) इनमें से कोई नहीं 

22. प्राकृत संख्याओं पर संबंध “से कम “है – 

(a) स्वतुल्य संबंध 

(b)सममित संबंध

(c) संक्रामक संबंध

(d) तुल्यता संबंध 

उत्तरमाला 

1. प्रांत ( R ) = { 1, 2, 3 } , परिसर ( R ) = { 1, 2, 3 } 
2. प्रांत ( R ) = { 1, 2, 3 } , परिसर = { 2, 3, 4, 6 } 
3. R₁ = स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है, R₂ = सममित तथा संक्रामक है , R₃ = सममित तथा संक्रामक है लेलिन स्वतुल्य नहीं |, R4 = केवल संक्रामक है | , R₅ = केवल संक्रामक है | 

4. 

1. स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है | 
2. स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है |

iii. 

1. केवल संक्रामक है | 
2. स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है | 
3. न तो स्वतुल्य, न सममित और न ही संक्रामक है | 
4. न तो स्वतुल्य, न सममित और न ही संक्रामक है | 

5. 

1. { (1, 2), ( 2, 1) }
2. { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3), (3, 1) }
3. { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3), (1, 3) }  , अन्य उत्तर की हो सकते हैं | 

12. R^-1 OR = { (1, 1), (3, 3), (4, 4), (4, 7), (7, 4), (7, 7) }

13. d     14. a       15. c           16. b        17. b          18. b, c        19. d           20. d           21. a         22. c