समांतर श्रेढ़ी | Arithmetic Progression | Class 10th Math | Hindi Medium

अनुक्रम ( Sequence ) – अनुक्रम संख्याओं का एक क्रम है जो किसी निश्चित नियम के अनुसार लिखे गये हैं |जैसे -(i) 2, 4,6,8,…………., (ii)1,4,9,16,25,………….

श्रेढ़ी ( Progression )– यदि अनुक्रम के पदों को कुछ विशेष प्रतिबंधों के अधीन लिखा जाए तो उसे श्रेढ़ी कहते हैं | जैसे – (i)2, 4,6,8,………….,    (ii)3.9,27,81,……….

श्रेढ़ी के प्रकार ( Types of progression )-

1. समांतर श्रेढ़ी ( Arithmetic progression, A.P. )– समांतर श्रेढ़ी वह श्रेढ़ी है जिसमें प्रत्येक पद पहले पद में कोई निश्चित राशि जोड़ने या घटाने से प्राप्त होती है | निश्चित राशि को समांतर श्रेढ़ी का सार्वअंतर या पदान्तर ( Common difference ) कहते हैं | सार्वअंतर को d से सूचित किया जाता है | या संख्याओं के एक अनुक्रम जिसमे किसी पद और उसके पूर्व पद का अंतर सदैव नियत हो | नियत संख्या को सार्वअंतर या पदान्तर ( Common difference ) कहते हैं | सार्वअंतर को d से सूचित किया जाता है | जैसे – (i)2, 4,6,8,………….,  (ii) 5,12,19,26,……………..
2. गुणोत्तर श्रेढ़ी ( Geometric progression, G.P. )– गुणोत्तर श्रेढ़ी वह श्रेढ़ी है जिसमें प्रत्येक पद तथा उसके ठीक पहले वाले पद का अनुपात सदैव समान होता है | समान राशि को गुणोत्तर श्रेढ़ी का सार्व अनुपात ( Common ratio ) कहते हैं | सार्व अनुपात को r से सूचित किया जाता है | जैसे -(i)3.9,27,81,………., (ii)2,4,8,16,………….
3. हरात्मक श्रेढ़ी ( Harmonic progression, H.P. )– हरात्मक श्रेढ़ी वह श्रेढ़ी है जिसके पदों का व्युत्क्रम समांतर श्रेढ़ी होता है | जैसे –

समांतर श्रेढ़ी का nवां पद ( nth term of A.P. )– माना किसी A.P. का पहला पद a और सार्वअंतर d है तो 

किसी A.P. का अंतिम से rवां पद -यदि किसी A.P. का प्रथम पद a , सार्वअंतर d और पदों को संख्या n है तो 

 

A.P. के पद – 

1. A.P. के तीन लगातार पद = a-d , a, a+d 
2. A.P.के तीन लगातार पद = a-3d , a-d , a+d , a+ 3d
3. A.P. के तीन लगातार पद= a- 2d , a- d , a , a+ d , a+ 2d

समांतर श्रेढ़ी के गुण ( Properties of arithmetic progression )- 

1. यदि किसी समांतर श्रेढ़ी के प्रत्येक पद में कोई संख्या जोड़ी या घटाई जाए , तो प्राप्त श्रेढ़ी भी समान्तर श्रेढ़ी होगी |

2. यदि दो समान्तर श्रेढ़ी के संगत पदों को जोड़ा या घटाया जाए , तो प्राप्त श्रेढ़ी भी समांतर श्रेढ़ी होगा |

3. यदि किसी समांतर श्रेढ़ी के प्रत्येक पद में किसी संख्या गुणा या भाग किया जाए , तो प्राप्त श्रेढ़ी भी समान्तर श्रेढ़ी होगी |

किसी समांतर श्रेढ़ी के n पदों का योगफल ( The Sum of n terms of A.P. )– यदि किसी A.P. का प्रथम पद a , सार्वअंतर d है | माना इसके n पदों का   योगफल  है | 

किसी A.P. के n पदों के योग से n वां पद ज्ञात करना –

 

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