Evaluate \(A^2 – B^2\)
Question:
If \[ A=\begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 3 & -3 & 3 \\ 5 & 5 & 5 \end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix} 0 & 4 & 3 \\ 1 & -3 & -3 \\ -1 & 4 & 4 \end{bmatrix} \] find \(A^2 – B^2\).
If \[ A=\begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 3 & -3 & 3 \\ 5 & 5 & 5 \end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix} 0 & 4 & 3 \\ 1 & -3 & -3 \\ -1 & 4 & 4 \end{bmatrix} \] find \(A^2 – B^2\).
Solution:
Step 1: Compute \(A^2\)
\[ A^2 = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 3 & -3 & 3 \\ 5 & 5 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 3 & -3 & 3 \\ 5 & 5 & 5 \end{bmatrix} \] \[ = \begin{bmatrix} -1 & -9 & -1 \\ 3 & 27 & 3 \\ 35 & 15 & 35 \end{bmatrix} \]Step 2: Compute \(B^2\)
\[ B^2 = \begin{bmatrix} 0 & 4 & 3 \\ 1 & -3 & -3 \\ -1 & 4 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 4 & 3 \\ 1 & -3 & -3 \\ -1 & 4 & 4 \end{bmatrix} \] \[ = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I_3 \]Step 3: Compute \(A^2 – B^2\)
\[ = \begin{bmatrix} -1 & -9 & -1 \\ 3 & 27 & 3 \\ 35 & 15 & 35 \end{bmatrix} – \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \] \[ = \begin{bmatrix} -2 & -9 & -1 \\ 3 & 26 & 3 \\ 35 & 15 & 34 \end{bmatrix} \]Final Answer:
\[ \boxed{ \begin{bmatrix} -2 & -9 & -1 \\ 3 & 26 & 3 \\ 35 & 15 & 34 \end{bmatrix} } \]