Question
Show that the matrix \[ A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \] satisfies the equation \[ A^3 – 4A^2 + A = O. \]
Solution
Step 1: Compute \(A^2\)
\[ A^2 = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\cdot2 + 3\cdot1 & 2\cdot3 + 3\cdot2 \\ 1\cdot2 + 2\cdot1 & 1\cdot3 + 2\cdot2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 12 \\ 4 & 7 \end{bmatrix} \]Step 2: Compute \(A^3 = A^2 \cdot A\)
\[ A^3 = \begin{bmatrix} 7 & 12 \\ 4 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7\cdot2 + 12\cdot1 & 7\cdot3 + 12\cdot2 \\ 4\cdot2 + 7\cdot1 & 4\cdot3 + 7\cdot2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 26 & 45 \\ 15 & 26 \end{bmatrix} \]Step 3: Form Expression
\[ A^3 – 4A^2 + A = \begin{bmatrix} 26 & 45 \\ 15 & 26 \end{bmatrix} – \begin{bmatrix} 28 & 48 \\ 16 & 28 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \]Step 4: Simplify
\[ = \begin{bmatrix} 26 – 28 + 2 & 45 – 48 + 3 \\ 15 – 16 + 1 & 26 – 28 + 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \]Final Result
\[
A^3 – 4A^2 + A = O
\]
Hence proved.