Verification of Associative Property
Question:
Given \[ A=\begin{bmatrix}2&1&1\\3&-1&0\\0&2&4\end{bmatrix},\; B=\begin{bmatrix}9&7&-1\\3&5&4\\2&1&6\end{bmatrix},\; C=\begin{bmatrix}2&-4&3\\1&-1&0\\9&4&5\end{bmatrix} \] Verify that: \[ (A+B)+C = A+(B+C) \]
Given \[ A=\begin{bmatrix}2&1&1\\3&-1&0\\0&2&4\end{bmatrix},\; B=\begin{bmatrix}9&7&-1\\3&5&4\\2&1&6\end{bmatrix},\; C=\begin{bmatrix}2&-4&3\\1&-1&0\\9&4&5\end{bmatrix} \] Verify that: \[ (A+B)+C = A+(B+C) \]
Solution:
Step 1: Compute \(A+B\)
\[ A+B= \begin{bmatrix} 2+9 & 1+7 & 1+(-1)\\ 3+3 & -1+5 & 0+4\\ 0+2 & 2+1 & 4+6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 8 & 0\\ 6 & 4 & 4\\ 2 & 3 & 10 \end{bmatrix} \]Step 2: Compute \((A+B)+C\)
\[ = \begin{bmatrix} 11+2 & 8+(-4) & 0+3\\ 6+1 & 4+(-1) & 4+0\\ 2+9 & 3+4 & 10+5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 4 & 3\\ 7 & 3 & 4\\ 11 & 7 & 15 \end{bmatrix} \]Step 3: Compute \(B+C\)
\[ B+C= \begin{bmatrix} 9+2 & 7+(-4) & -1+3\\ 3+1 & 5+(-1) & 4+0\\ 2+9 & 1+4 & 6+5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 3 & 2\\ 4 & 4 & 4\\ 11 & 5 & 11 \end{bmatrix} \]Step 4: Compute \(A+(B+C)\)
\[ = \begin{bmatrix} 2+11 & 1+3 & 1+2\\ 3+4 & -1+4 & 0+4\\ 0+11 & 2+5 & 4+11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 4 & 3\\ 7 & 3 & 4\\ 11 & 7 & 15 \end{bmatrix} \]Conclusion:
\[ (A+B)+C = A+(B+C) = \begin{bmatrix} 13 & 4 & 3\\ 7 & 3 & 4\\ 11 & 7 & 15 \end{bmatrix} \]Hence, associative property is verified.