Verify that (AB)T = BTAT
Given:
\( A = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 \end{bmatrix} \)
To Verify:
\( (AB)^T = B^T A^T \)
Step 1: Find AB
\[ AB = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\cdot1 & 3\cdot0 & 3\cdot4 \\ 5\cdot1 & 5\cdot0 & 5\cdot4 \\ 2\cdot1 & 2\cdot0 & 2\cdot4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 12 \\ 5 & 0 & 20 \\ 2 & 0 & 8 \end{bmatrix} \]
Step 2: Find (AB)T
\[ (AB)^T = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 12 & 20 & 8 \end{bmatrix} \]
Step 3: Find AT and BT
\[ A^T = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 2 \end{bmatrix}, \quad B^T = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{bmatrix} \]
Step 4: Find BTAT
\[ B^T A^T = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\cdot3 & 1\cdot5 & 1\cdot2 \\ 0\cdot3 & 0\cdot5 & 0\cdot2 \\ 4\cdot3 & 4\cdot5 & 4\cdot2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 12 & 20 & 8 \end{bmatrix} \]
Conclusion:
\[ (AB)^T = B^T A^T \]
Hence Verified.